Question

设函数f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且

1

9

≤x≤9．
（Ⅰ）求f（3）的值；
（Ⅱ）令t=log₃x，将f（x）表示成以t为自变量的函数；并由此，求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的解析式求得f（3）的值．
（Ⅱ）令t=log₃x，则-2≤t≤2，且f（x）=t²+3t+2，令g（t）=t²+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，利用二次函数的性质求得g（t）的最值以及此时对应的x的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且

1

9

≤x≤9，
故f（3）=log₃27•log₃9=3×2=6．
（Ⅱ）令t=log₃x，则-2≤t≤2，且f（x）=（log₃x+2）（1+log₃x）=t²+3t+2，
令g（t）=t²+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，
故当t=-

3

2

时，函数g（t）取得最小值为-

1

4

，此时求得x=3-

3

2

=

3

9

；
当t=2时，函数g（t）取得最大值为12，此时求得x=9．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，属于中档题．