Question

已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x²+ax-3，对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，4]
• B、（-∞，5]
• C、[6，+∞）
• D、[4，+∞）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：f（x）≥g（x）可整理为a≤2lnx+x+

3

x

，令h（x）=2lnx+x+

3

x

（x＞0），则问题转化为h（x）_min≥a，利用导数易求h（x）_min．

解答： 解：f（x）≥g（x）即2xlnx≥-x²+ax-3，
整理得a≤2lnx+x+

3

x

，
令h（x）=2lnx+x+

3

x

（x＞0），
则h′（x）=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∵f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤4，
故选A．

点评：该题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．