Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为直角三角形，∠ACB=

π

2

，顶点C₁在底面△ABC内的射影是点B，且AC=BC=BC₁=3，点T是平面ABC₁内一点．
（1）若T是△ABC₁的重心，求直线A₁T与平面ABC₁所成角；
（2）是否存在点T，使TB₁=TC且平面TA₁C₁⊥平面ACC₁A₁，若存在，求出线段TC的长度，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以CB、CA分别为x，y轴，过C作直线Cz∥BC1，以Cz为z轴建立空间坐标系，求出直线A₁T的方向向量和平面ABC₁的法向量，代入向量夹角公式，可得直线A₁T与平面ABC₁所成角；
（2）T在面ABC₁内，

CT

=

CB

+

BT

=

CB

+m

BC1

+n

BA

，由TB₁=TC得，-2m+4n=-1…①；求出面CAA₁C₁法向量

n

和面TA₁C₁法向量

i

，由平面TA₁C₁⊥平面ACC₁A₁，得：m=n+1…②，解方程组求出m，n的值，进而可得TC的长度．

解答： 解：如图以CB、CA分别为x，y轴，过C作直线Cz∥BC1，以Cz为z轴建立空间坐标系，
则B（3，0，0），C（0，0，0），A（0，3，3），C₁（3，0，3），
∵

CB1

=

CC1

+

CB

=（6，0，3），
∴B₁（6，0，3），
∵

CA1

=

CC1

+

CA

=（3，3，3），
∴A₁（3，3，3），
（1）∵T是△ABC₁重心，
∴T（2，1，1），
∴

.

TA1

=（1，2，2），
设面ABC₁的法向量为

m

=（x，y，z），
由

AB

=（3，-3，0），及

m ⊥ AB m ⊥ CA1

得：

3x-3y=0 3x+3y+3z=0

令x=1，则

m

=（1，1，0），
设直线A₁T与平面ABC₁所成角为θ，
则cosθ=

| TA1 • m |

| TA1 |•| m |

=

3

3× 2

=

2

2

，
故θ=

π

4

，
故直线A₁T与平面ABC₁所成角为

π

4

．
（2）T在面ABC₁内，

CT

=

CB

+

BT

=

CB

+m

BC1

+n

BA

=（3-3n，3n，3m），
即T（3-3n，3n，3m）．由TB₁=TC得：
（3-3n）²+（3n）²+（3m）²=（3n+3）²+（3n）²+（3m-3）²，
即-2m+4n=-1…①
设面CAA₁C₁法向量为

n

=（a，b，c），由

CA

=（0，3，0），

CC1

=（3，0，3）得：

3b=0 3a+3c=0

，
取a=1，则

n

=（1，0，-1），
设面TA₁C₁法向量为

i

=（x，y，z），
由

C1A1

=（0，3，0），

C1T

=（-3n，3n，3m-3），得：

3y=0 -3nx+(3m-3)z=0

取x=m-1，则

i

=（m-1，0，n），
由平面TA₁C₁⊥平面ACC₁A₁，得：
cos＜

n

，

i

＞=

m-1-n

2 (m-1)2+n2

=0，
即m=n+1…②
由①②解得，
n=

1

2

，m=

3

2

，
∴存在点T（

3

2

，

3

2

，

9

2

）满足条件，此时TC=

3 11

2

．…10分

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法，直线与平面的夹角，其中建立空间直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题是解答的关键．