Question

在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）若PA=PC且PD=PB，求证平面PAC⊥平面ABCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取CD的中点E，连接ME，NE，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD，进而得到NE∥平面PAD．由M是线段AB的中点，E是CD的中点，利用平行四边形的性质可得四边形AMED是平行四边形，可得ME∥平面PAD．进而得到平面MNE∥平面PAD，利用面面平行的性质可得MN∥平面PAD；
（2）设AC，BD交于O，证明PO⊥AC，PO⊥BD，可得PO⊥面ABCD，从而可证明平面PAC⊥平面ABCD．

解答： 证明：（1）取CD的中点E，连接ME，NE由N是线段CP的中点，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD，
∵NE?平面PAD，PD?平面PAD，
∴NE∥平面PAD．
由M是线段AB的中点，E是CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴ME∥AD，可得ME∥平面PAD．
又ME∩EN=E，∴平面MNE∥平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）设AC，BD交于O．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O为AC，BD中点，
∵PA=PC，PD=PB，
∴PO⊥AC，PO⊥BD，
∵AC，BD交于O，
∴PO⊥面ABCD，
又PO?面PAC，∴面PAC⊥面ABCD．

点评：熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面与面面平行、垂直的判定与性质定理是解题的关键．