Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求T_n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出5a₁+10d=70，a72=a2a22，由此求出首项和公差，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn =2n²+4n，从而得到

1

Sn

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

Sn

}的前n项和T_n的最小值．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是等差数列，且S₅=70，
∴5a₁+10d=70，
又a₂，a₇，a₂₂成等比数列，
∴a72=a2a22，∴(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)，
解得a₁=6，d=4，或a₁=14，d=0（舍），
∴a_n=4n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn =2n²+4n，
∴

1

Sn

=

1

2n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Tn =

1

4

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

3

8

-

1

4

(

1

n+1

+

1

n+2

)．
∵T_n+1-T_n=

1

4

(

1

n+1

-

1

n+3

)＞0，
∴数列{T_n}是递增数列，
∴Tn≥T1=

1

6

，
∴T_n的最小值为

1

6

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．