Question

设函数f（x）=

1 a x，0≤x≤a 1 1-a (1-x)，a＜x≤1

，a为常数且a∈（0，1）
（1）当a=

1

2

时，求f[f（

1

3

）]；
（2）若x满足f[f（x）]=x₀，但f（x₀）≠x₀，则称x₀为f（x）的二阶周期点，证明函数f（x）有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x₁，x₂．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数的值,函数的零点与方程根的关系

专题：综合题,方程思想,函数的性质及应用

分析：（1）当a=

1

2

时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；
（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求．

解答： （1）解：当a=

1

2

时，求f（

1

3

）=

2

3

，故f（f（

1

3

））=f（

2

3

）=2（1-

2

3

）=

2

3

；
（2）f（f（x））=

1 a2 x，0≤x≤a2 1 a(1-a) (a-x)，a2＜x≤a 1 (1-a)2 (x-a)，a＜x≤a2-a+1 1 a(1-a) (1-x)，a2-a+1＜x≤1

当0≤x≤a²时，由

1

a2

x=x，解得x=0，因为f（0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；
当a²＜x≤a时，由

1

(1-a)2

(x-a)=x，解得x=

a

-a2+a+1

∈(a2，a)
因为f（

a

-a2+a+1

）=

1

a

×

a

-a2+a+1

=

1

-a2+a+1

≠

a

-a2+a+1

，
故x=

a

-a2+a+1

是函数的二阶周期点；
当a＜x≤a²-a+1时，由

1

(1-a)2

(x-a)=x，解得x=

1

2-a

∈（a，a²-a+1），因为f（

1

2-a

）=

1

2-a

，故得x=

1

2-a

不是函数的二阶周期点；
当a²-a+1＜x≤1时，由

1

a(1-a)

=(1-x)=x，解得x=

1

-a2+a+1

∈（a²-a+1，1），因为f（

1

-a2+a+1

）=

a

-a2+a+1

≠

1

-a2+a+1

，故x=

1

-a2+a+1

是函数的二阶周期点；
因此函数有两个二阶周期点，x₁=

a

-a2+a+1

，x₂=

1

-a2+a+1

．

点评：本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．