Question

如果函数y=

a

x

图象上某点处的切线在两个坐轴上的截距之积等于2，则实数a的值等于

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设切点，求切线方程，求出两个坐标轴上的截距，利用切线在两个坐标轴上的截距之积等于2，即可求出实数a的值．

解答： 解：设切点为（m，n），则
∵y=

a

x

，
∴y′=-

a

x2

，
∴x=m时，y′=-

a

m2

，
∴切线方程为y-n=-

a

m2

（x-m），
x=0时，y=

2a

m

，y=0时，x=2m，
∵函数y=

a

x

图象上某点处的切线在两个坐标轴上的截距之积等于2，
∴

2a

m

•2m=4a=2，
∴a=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查截距的概念，正确求出切线方程是关键．