Question

12．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{x-y≥-2}\\{x≤2}\end{array}\right.$，表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OM|}}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 利用向量的数量积将条件进行转化，利用数形结合进行求解即可得到结论．

解答 解：设z=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OM|}}$，则z=$\left|\overrightarrow{OA}\right|×\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}{\left|\overrightarrow{OA}\right||\overrightarrow{OM|}}$=|$\overrightarrow{OA}$|•cos∠A0M，
∵O（0，0），A（1，0）．
∴|$\overrightarrow{OA}$|=1，
∴z=|$\overrightarrow{OA}$|•cos∠A0M=cos∠A0M，
作出不等式组对应的平面区域如图：
要使cos∠A0M最小，
则∠A0M最大，
即当M在C处时，∠A0M最大，
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x-y=-2\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}\right.$，即C（1，3），
则|AC|=$\sqrt{10}$，
则cos∠A0M=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用向量的数量积将条件进行转化是解决本题的关键．