Question

17．设f（x）=e•e^x，e=2.71828…是自然对数的底．
（1）求曲线f（x）在点M（0，e）处的切线方程；
（2）设g（x）=f（x）-kx（k∈R），试探究函数g（x）的单调性；
（3）若f（x）＞kx总成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求；
（2）求出导数，对k讨论，当k≤0时，当k＞0时，由导数大于0，求得增区间，由导数小于0，得到减区间；
（3）方法一、求得导数，对k讨论，当k=0，k＜0，k＞0，f（x）＞kx总成立等价于g（x）_min＞0．解不等式即可得到所求范围；
方法二、先讨论k＜0不成立，再由当x∈（0，+∞）时，f（x）＞kx总成立，等价于k＜$\frac{f（x）}{x}$总成立，
即为$k＜\frac{f（x）}{x}$的最小值．求出右边函数的最小值，即可得到所求．

解答 解：（1）f′（x）=e^1+x，
∴过M的曲线f（x）的切线的斜率k=f′（0）=e，
∴过M的曲线f（x）的切线方程为y=ex+e．
（2）由条件知g（x）=e•e^x-kx，g′（x）=e^x+1-k，
当k≤0时，显然g′（x）＞0，∴g（x）在R是增函数．
当k＞0时，令g′（x）＞0得x＞lnk-1；令g′（x）＜0得x＜lnk-1．
∴g（x）的增区间为（lnk-1，+∞），减区间为（-∞，lnk-1）；
（3）解法一：当k＜0时，由y=f（x）和y=kx的图象知f（x）＞kx不可能总成立．
当k=0时，由f（x）＞0，kx=0知f（x）＞kx总成立．
当k＞0时，f（x）＞kx总成立等价于g（x）_min＞0．
由（2）知g（x）_min=g（lnk-1）=k（2-lnk）＞0，
解得0＜k＜e²，
综上所述：k的取值范围是[0，e²）；
解法二：若k＜0，由y=f（x）和y=kx的图象知f（x）＞kx不可能总成立，
∴k≥0．
当x∈（-∞，0]时，有f（x）=e^1+x＞0，kx≤0，
∴f（x）＞kx总成立；   
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞kx总成立，等价于k＜$\frac{f（x）}{x}$总成立，
∴$k＜\frac{f（x）}{x}$的最小值．
记$F（x）=\frac{f（x）}{x}，则F'（x）=\frac{f'（x）×x-f（x）}{x^2}=\frac{{x{e^{1+x}}-{e^{1+x}}}}{x^2}=\frac{{（x-1）{e^{1+x}}}}{x^2}（x＞0）$，
显然x∈（0，1）时，F′（x）＜0； x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0．
∴F（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），
∴$F{（x）_{min}}=F（1）={e^2}$，
∴k＜e²综上所述：k的取值范围是[0，e²）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的恒成立问题，注意运用单调性和参数分离，考查运算能力，属于中档题．