Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为A_n，且满足a₁+a₅=6，A₉=63；数列{b_n}的前n项和为B_n，且满足Bn=2bn-1(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_b，b_n；
（II）设c_n=a_n•b_n求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（I）设 {a_n}的首项为a₁，公差为d，因为 a₁+a₅=6，得a₁+2d=3．由A₉=63，得a₁+4d=7，两式联立解得a₁=-1，d=2．
所以an=-1+2(n-1)=2n-3，n∈N•．
当n=1时，b₁=2b₁-1，解得b₁=1．当 n≥2时，b_n=B_n-B_n-1=2b_n-2b_n-1，即b_n=2b_n-1．
所以数列{b_n}是首项是1，公比为2的等比数列．所以bn=2n-1，n∈N•．
（II）因为c_n=a_n•b_n，所以cn=an?bn=(2n-3)?2n．
则Sn=-2+1?22+3?23+…+(2n-3)?2n   ①
2Sn=-22+1?23+3?24+…+(2n-3)?2n+1 ②
①-②得，-Sn=-2+2?22+2?23+…+2?2n-(2n-3)?2n+1=

2?22(1-2n-1)

1-2

-2-(2n-3)?2n+1=

2?22(1-2n-1)

1-2

-2-(2n-3)?2n+1=2n+1-8-2-(2n-3)?2n+1=(4-2n)?2n+1-10，
所以Sn=10-(4-2n)?2n+1，即数列{c_n}的前n项和为Sn=10-(4-2n)?2n+1．