Question

已知不等式ax²+5x-2＞0的解集是M．
（1）若2∈M，求a的取值范围；
（2）若M={x|

1

2

＜x＜2}，求不等式ax²-5x+a²-1＞0的解集．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）中直接将x=2代入不等式解出即可，（2）由题意得

1

2

，2时方程ax²+5x-2=0的根，由韦达定理得方程组求出a，代入不等式求出即可．

解答： 解：（1）∵2∈M，∴a•2²+5•2-2＞0，∴a＞-2
（2）∵M={x|

1

2

＜x＜2}，
∴

1

2

，2是方程ax²+5x-2=0的两个根，
∴由韦达定理得

1 2 +2=- 5 a 1 2 •2=- 2 a

解得a=-2，
∴不等式ax²-5x+a²-1＞0即为：-2x²-5x+3＞0
其解集为{x|-3＜x＜

1

2

}．

点评：本题考察了二次函数性质，解不等式问题，韦达定理，是一道基础题．