Question

已知二次函数f（x）=-4^x+2a•2^x+1-a在区间[0，1]有最大值2，求实数a的值．

Answer 1

分析：令2^x=t，则 y=-t²+2at+1-a，t∈[1，2]，分a＜1、a＞2、1≤a≤2三种情况，利用二次函数的性质根据函数在区间[0，1]有最大值2，求得实数a的值．

解答：解：令2^x=t，则4^x=t²，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，…（2分）
∴y=-t²+2at+1-a，t∈[1，2]．
由于函数y的对称轴为：t=a，…（3分）
当a＜1时，y在[1，2]上递减，∴y_max=2，即 a=2．（舍去）  …（6分）
当a＞2时，y在[1，2]上递增，∴y_max=2，即a=

5

3

．（舍去）    …（9分）
当1≤a≤2时，y在[1，a]递增，在[a，2]上递减，∴y_max=2，即a²-a+1=2，解得：a=

1± 5

2

．
∵1≤a≤2，∴a=

1- 5

2

（舍去）；∴a=

1+ 5

2

．
综上：a的值为a=

1+ 5

2

．…（12分）

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．