Question

（2013•东城区二模）在数列{a_n}中，若对任意的n∈N^*，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=t（t为常数），则称数列{a_n}为比等差数列，t称为比公差．现给出以下命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②若数列{a_n}满足an=

2n-1

n2

，则数列{a_n}是比等差数列，且比公差t=

1

2

；
③若数列{c_n}满足c₁=1，c₂=1，c_n=c_n-1+c_n-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
④若{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，则数列{a_nb_n}是比等差数列．
其中所有真命题的序号是（　　）

A．①②

B．②③

C．③④

D．①③

Answer 1

分析：①由等比数列的特点，代入可知满足新定义，若等差数列的公差d=0时满足题意，当d≠0时，不是比等差数列，可知正确；②代入新定义验证可知，不满足；③由递推公式计算数列的前4项，可得

c3

c2

-

c2

c1

≠

c4

c3

-

c3

c2

，故该数列不是比等差数列；④可举{a_n}为0列，则数列{a_nb_n}为0列，显然不满足定义．

解答：解：①若数列{a_n}为等比数列，且公比为q，则

an+2

an+1

-

an+1

an

=q-q=0，为常数，故等比数列一定是比等差数列，
若数列{a_n}为等差数列，且公差为d，当d=0时，

an+2

an+1

-

an+1

an

=1-1=0，为常数，是比等差数列，
当d≠0时，

an+2

an+1

-

an+1

an

不为常数，故不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故正确；
②若数列{a_n}满足an=

2n-1

n2

，则

an+2

an+1

-

an+1

an

=

2(n+1)2

(n+2)2

-

2n2

(n+1)2

不为常数，故数列{a_n}不是比等差数列，故错误；
③若数列{c_n}满足c₁=1，c₂=1，c_n=c_n-1+c_n-2（n≥3），可得c₃=2，c₄=3，故

c3

c2

-

c2

c1

=1，

c4

c3

-

c3

c2

=-

1

2

显然

c3

c2

-

c2

c1

≠

c4

c3

-

c3

c2

，故该数列不是比等差数列，故正确；
④若{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，可举{a_n}为0列，则数列{a_nb_n}为0列，显然不满足定义，即数列{a_nb_n}不是比等差数列，故错误．
故答案为：D

点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及等差数列和等比数列以及新定义，属基础题．