Question

若不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1的解集不为∅，则实数a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：选作题,不等式

分析：令f（x）=|x-1|+|x-2|可求得f（x）_min，依题意，a²+a+1≥f（x）_min，解之即可．

解答： 解：令f（x）=|x-1|+|x-2|，由绝对值的几何意义：数轴上的点到1，3的结论之和，
可知函数f（x）的最小值为：1，
即f（x）_min=1．
∵不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1的解集不为∅，
∴a²+a+1≥f（x）_min=1，
∴a²+a≥0．
解得：a≥0或a≤-1．
∴实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[0，+∞）．
故答案为：（-∞，-1]∪[0，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式，考查构造函数思想与方程思想，考查理解题意与推理运算的能力，属于中档题．