Question

求证：

sin(2α+β)

sinα

-2cos（α+β）=

sinβ

sinα

．

Answer 1

分析：先转换命题，只需证sin（2α+β）-2cos（α+β）•sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）-α=β可证得结论．

解答：证明：∵sin（2α+β）-2cos（α+β）sinα
=sin[（α+β）+α]-2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα-2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=sin[（α+β）-α]=sinβ．
两边同除以sinα得

sin(2α+β)

sinα

-2cos（α+β）=

sinβ

sinα

．
∴原式得证

点评：证明三角恒等式，可先从两边的角入手变化，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略．