Question

设数列{a_n}是一个公差不为零的等差数列，且a₅=6．
（1）当a₃=3时，请在数列{a_n}中找一项a_m（m＞5），使a₃，a₅，a_m成等比数列；
（2）当a₃＞1时，如果存在自然数m₁，m₂，…，m_t，…，满足5＜m₁＜m₂＜…＜m_t＜…，且a₃，a₅，a_m1，a_m2，…，a_mi，…构成一个等比数列，求a₃的一切可能值；
（3）在（2）中的a₃取最小正整数值时，求证：

n

i=1

3i+1

mimi+1

＜

1

22

．

Answer 1

分析：（1）因为a₅²=a₃a_m，所以a_m=

a52

a3

=12．由此能求出m．
（2）因为数列{a_n}是一个公差不为零的等差数列，且a₅=6，所以a_m=a₃+（m_t-3）×

6-a3

2

（ m_t＞5，m_t∈N^*），又a_m=a₃（

6

a3

）^t+1，由此能够求出a₃的一切可能值．
（3）由（2）以及a₃取最小整数，可得a₃=2，故

3t+1

mtmt+1

=

1

2

（

1

3t+1+2

-

1

3t+2+2

），由此能够证明

n

i=1

3i+1

mimi+1

＜

1

22

．

解答：解：（1）因为a₅²=a₃a_m，所以a_m=

a52

a3

=12．
设数列{a_n}的公差为d．
则a_m=a₃+（m-3）d=3+（m-3）×

3

2

=12，
所以m=9．…（5分）
（2）因为数列{a_n}是一个公差不为零的等差数列，且a₅=6，
所以a_m=a₃+（m_t-3）×

6-a3

2

（ m_t＞5，m_t∈N*）
又a_m=a₃（

6

a3

）^t+1，
故a₃（

6

a3

）^t+1=a₃+（m_t-3）×

6-a3

2

，
即

6t+1-a3t+1

a3t

=（m_t-3）×

6-a3

2

，
故

(6-a3)(6t+6t-1a3+…+6a3t-1+a3t)

a3t

=（m_t-3）×

6-a3

2

．
由a₃≠a₅，所以a₃≠6．
m_t=5+2[（

6

a3

）^t+（

6

a3

）^t-1+…+（

6

a3

）]，t∈N*．
当t=1时，m₁=5+2×

6

a3

=5+

12

a3

．
由m₁∈N*，且a₃＞1，
则

12

a3

=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．
当t=2时，m₂=5+2×[（

6

a3

）²+

6

a3

]，
所以

12

a3

为奇数时，m₂不为整数，不符合．
所以，

12

a3

=2，4，6，8，10．从而a₃=6，3，2，

3

2

，

6

5

，
又因为数列{a_n}是一个公差不为零的等差数列，且a₃≠6．
所以a₃=3，2，

3

2

，

6

5

．经检验均满足题意．…（12分）
（3）由（2）以及a₃取最小整数，可得a₃=2，
m_t=5+2（3^t+3^t-1+…+3）=5+2×

3t+1-3

2

=3^t+1+2．
∴

3t+1

mtmt+1

=

3t+1

(3t+1+2)(3t+2+2)

=

1

2

（

1

3t+1+2

-

1

3t+2+2

），
∴

n

i=1

3i+1

mimi+1

=

1

2

n

i=1

[（

1

32+2

-

1

33+2

）+（

1

33+2

-

1

34+2

）+…+（

1

3n+1+2

-

1

3n+2+2

）]
=

1

2

（

1

32+2

-

1

3n+2+2

）
＜

1

2

×

1

32+2

=

1

22

．…（16分）

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高．解题时认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．