Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=xe^x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）是定义在R上的偶函数可得f（x）=f（-x），从而求表达式．
（2利用导数求函数的单调区间．

解答： 解：（1）当x＞0时，-x＜0，∴f（x）=xe^-x，又为偶函数，∴f（x）=f（-x）=xe^-x．
则f（x）=

xe-x，x＞0 -xex，x≤0

；
（2）当x＞0时，f′（x）=e^-x-xe^-x=（1-x）e^-x，∴（0，1）时f′（x）＞0，f（x）递增，（1，+∞）时f′（x）＜0，
f（x）递减；由于偶函数，据对称性，（-∞，-1）时f′（x）＞0，f（x）递增，（-1，0）时f′（x）＜0，f（x）递减．

点评：本题考查了奇偶函数的解析式的求法，以及函数的单调区间的求法，属于基础题．