Question

已知函数，其中a为常数.

（1） 当时，求的最大值；

（2） 若在区间（0，e］上的最大值为-3，求a的值；

（3） 当 时，试推断方程=是否有实数解.

Answer 1

 解：(1) 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，

f′(x)=－1+

当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，=f（1）=-1

(2) ∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈

① 若a≥，则f′(x)≥0， f(x)在(0,e］上增函数

∴=f（e）=ae+1≥0.不合题意

② 若a<，则由f′(x)>0>0，即0<x<

由f(x)<0<0，即<x≤e.  从而f(x)在上增函数,在为减函数

∴=f=-1+ln

令-1+ln=-3，则ln=-2∴=，即a=.

 ∵<,

∴a=为所求

(3) 由（Ⅰ）知当a=-1时=f（1）=-1，

∴|f（x）|≥1

又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,

当0<x<e时，g′(x)>0,g(x)  在(0,e)单调递增；当x>e时,g′(x)<0，g(x) 在(e,+∞)单调递减∴=g（e）= <1, ∴g(x)<1 

∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>     ∴方程|f（x）|=没有实数解.