Question

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1+kx），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）当k=-2时，求函数h（x）=f（x）+g（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数H（x）=f（x）-g（x）是奇函数（不为常函数），求实数k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当k=-2时，由函数h（x）的定义，可得 

1+x＞0 1-2x＞0

，解得x的范围，可得函数h（x）的定义域．
（Ⅱ）由于函数H（x）=loga

1+x

1+kx

是奇函数，可得f（-x）=-f（x），即 loga

1-x

1-kx

=-loga

1+x

1+kx

，即 loga

1-x2

1-(kx)2

=0，由此求得k的值．

解答：解：（Ⅰ）当k=-2时，求函数h（x）=f（x）+g（x）=log_a（1+x）+log_a（1-2x）=log_a（1+x）（1-2x），
由

1+x＞0 1-2x＞0

，
解得-1＜x＜

1

2

，
故函数h（x）的定义域为（-1，

1

2

）．
（Ⅱ）由于函数H（x）=f（x）-g（x）=loga

1+x

1+kx

是奇函数，
故有f（-x）=-f（x），
即 loga

1-x

1-kx

=-loga

1+x

1+kx

，
∴loga

1-x

1-kx

+loga

1+x

1+kx

=loga

1-x2

1-(kx)2

=0，
∴k=±1．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，求函数的定义域、函数的奇偶性的判断，属于中档题．