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【题目】已知椭圆的离心率为,四个顶点构成的菱形的面积是4,圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点(不同于点),直线的斜率分别为.

(1)求椭圆的方程;

(2)当变化时,①求的值;②试问直线是否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】试题分析:(1)由题设知, ,又,解得,由此可得求椭圆的方程2,则有,化简得,对于直线,同理有,于是是方程的两实根,故,即可证明结果;②考虑到时, 是椭圆的下顶点, 趋近于椭圆的上顶点,故若过定点,则猜想定点在轴上.

,得,于是有直线的斜率为,直线的方程为,令,得即可证明直线过定点.

试题解析:(1)由题设知, ,又

解得.

故所求椭圆的方程是.

2,则有,化简得

对于直线,同理有

于是是方程的两实根,故.

考虑到时, 是椭圆的下顶点, 趋近于椭圆的上顶点,故若过定点,则猜想定点在轴上.

,得,于是有.

直线的斜率为

直线的方程为

,得

故直线过定点.

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