【题目】已知椭圆的离心率为,四个顶点构成的菱形的面积是4,圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点(不同于点),直线的斜率分别为.
(1)求椭圆的方程;
(2)当变化时,①求的值;②试问直线是否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)由题设知, , ,又,解得,由此可得求椭圆的方程;(2)①,则有,化简得,对于直线,同理有,于是是方程的两实根,故,即可证明结果;②考虑到时, 是椭圆的下顶点, 趋近于椭圆的上顶点,故若过定点,则猜想定点在轴上.
由,得,于是有,直线的斜率为,直线的方程为,令,得,即可证明直线过定点.
试题解析:(1)由题设知, , ,又,
解得.
故所求椭圆的方程是.
(2)①,则有,化简得,
对于直线,同理有,
于是是方程的两实根,故.
考虑到时, 是椭圆的下顶点, 趋近于椭圆的上顶点,故若过定点,则猜想定点在轴上.
由,得,于是有.
直线的斜率为,
直线的方程为,
令,得,
故直线过定点.
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【题目】已知圆C:x2+y2﹣2x+6y=0,则圆心P及半径r分别为( )
A.圆心P(1,3),半径r=10
B.圆心P(1,3),半径
C.圆心P(1,﹣3),半径r=10
D.圆心P(1,﹣3),半径 .
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【题目】已知椭圆的离心率为,四个顶点构成的菱形的面积是4,圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点(不同于点),直线的斜率分别为.
(1)求椭圆的方程;
(2)当变化时,①求的值;②试问直线是否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.
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【题目】已知直线l1:mx﹣y=0,l2:x+my﹣m﹣2=0.
(1)求证:对m∈R,l1与l2的交点P在一个定圆上;
(2)若l1与定圆的另一个交点为P1 , l2与定圆的另一个交点为P2 , 求当m在实数范围内取值时,△PP1P2的面积的最大值及对应的m.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B.若p:?x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,则¬p:?x∈R,x2﹣x﹣1<0
C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
D.“若α= ,则sinα= ”的否命题是“若α≠ ,则sinα≠ ”
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【题目】已知函数f(x)=ax﹣ (a,b∈N*),f(1)= 且f(2)<2.
(1)求a,b的值;
(2)判断并证明函数y=f(x)在区间(﹣1,+∞)上的单调性.
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