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如图,F1,F2是离心率为的椭圆
C:(a>b>0)的左、右焦点,直线:x=-将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M在直线l上,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 是否存在点M,使以PQ为直径的圆经过点F2,若存在,求出M点坐标,若不存在,请说明理由.
(1)  (2)

试题分析:解:(Ⅰ) 设F2(c,0),则,所以c=1.因为离心率e=,所以a=
所以椭圆C的方程为.   4分
(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-, 6分
此时P(,0)、Q(,0) ,.不合;
当直线AB不垂直于x轴时,设存在点M(-,m) (m≠0),直线AB的斜率为k,
.由  得,则 -1+4mk=0,
故k=.此时,直线PQ斜率为,PQ的直线方程为
即 
联立消去y,整理得  
所以. 8分
由题意0,于是
(x1-1)(x2-1)+y1y2
                      =0.
因为M在椭圆内,符合条件; 12分
综上,存在两点M符合条件,坐标为. 13分
点评:解决的关键是对于直线与圆锥曲线的位置关系的运用,要借助于代数方法联立方程组来的得到,属于基础题。
练习册系列答案
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