Question

设

a

=(

3

cos2ωx，sinωx)，

b

=(1，cosωx)（其中ω＞0），已知f(x)=

a

•

b

-

3

2

且f（x）最小正周期为2π
（1）求ω的值及y=f（x）的表达式；
（2）设a∈(

π

6

，

2π

3

)，β∈(-

5π

6

，-

π

3

)，f(α)=

3

5

，f(β)=-

4

5

求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简 f(x)=

a

•

b

-

3

2

的解析式为 sin（2ωx+

π

3

），再由ω＞0，T=

2π

2ω

=2π，求得ω的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）根据角的范围以及同角三角函数的基本关系求出cos（α+

π

3

）、cos（β+

π

3

），由cos（α-β）=cos[（α+

π

3

）-（β+

π

3

）]利用两角和差的余弦公式求出结果．

解答：解：（1）∵已知f(x)=

a

•

b

-

3

2

=

3

cos²ωx+sinωx•cosωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cosωx=sin（2ωx+

π

3

）．
∵ω＞0，T=

2π

2ω

=2π，ω=

1

2

，
∴f（x）=sin（x+

π

3

）．
（2）∵f（α）=

3

5

，∴sin（α+

π

3

）=

3

5

．
∵α∈（

π

6

，

2π

3

），∴α+

π

3

∈（

π

2

，π），cos（α+

π

3

）=-

4

5

．
再由f（β）=-

4

5

，可得sin（β+

π

3

）=-

4

5

．再由β∈（-

5π

6

，-

π

3

），可得β+

π

3

∈（-

π

2

，0），
∴cos（β+

π

3

）=

3

5

．
∴cos（α-β）=cos[（α+

π

3

）-（β+

π

3

）]=cos（α+

π

3

）cos（β+

π

3

）-sin（α+

π

3

）•sin（β+

π

3

）=（-

4

5

）•（

3

5

）+（ 

3

5

）•（-

4

5

）=-

24

25

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．