Question

【题目】求函数y= 的定义域、值域和单调区间．

Answer 1

【答案】解：根据题意，函数的定义域显然为（﹣∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x﹣x2=4﹣（x﹣1）2≤4．
∴y=3u是u的增函数，
当x=1时，ymax=f（1）=81，而y= ＞0．
∴0＜3u≤34 ， 即值域为（0，81]．
当x≤1时，u=f（x）为增函数，y=3u是u的增函数，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函数单调增区间为（﹣∞，1]；
其证明如下：
任取x1 ， x2∈（﹣∞，1]且令x1＜x2
则 = ÷ = = =

∵x1＜x2 ， x1 ， x2∈（﹣∞，1]
∴x1﹣x2＜0，2﹣x1﹣x2＞0
∴（x1﹣x2）（2﹣x1﹣x2）＜0
∴ ＜1
∴f（x1）＜f（x2）
∴原函数单调增区间为（﹣∞，1]
当x＞1时，u=f（x）为减函数，y=3u是u的增函数，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函数单调减区间为[1，+∞）．
证明同上．
【解析】根据题意，定义域的求解易知为（﹣∞，+∞），值域的求解通过换元法将3+2x﹣x2换成u，通过二次函数的知识求得u的范围为（﹣∞，4]，再根据指数函数y=3u的单调性即可求解
利用复合函数的单调性的特点（根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，在同一定义域上，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数）判断出函数的单调区间，在根据定义：（就是定义域内的任意取x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 比较f（x1），f（x2）的大小，或f（x1）＜f（x2）则是增函数；反之则为减函数）证明即可
【考点精析】本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点的相关知识点，需要掌握0<a<1时:在定义域上是单调减函数;a>1时:在定义域上是单调增函数才能正确解答此题．