Question

已知函数y=f（x）在R上是奇函数，而且在（0，+∞）是增函数．证明：
（1）f（0）=0；
（2）y=f（x）在（-∞，0）上也是增函数．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据奇函数性质列出关系式，将x=0代入即可求出f（0）的值；
（2）任取x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，根据f（x）在（0，+∞）是增函数列出关系式，再利用奇函数的性质化简，得到f（x₁）＜f（x₂），即可得证．
解答：证明：（1）∵f（x） 在R上是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0；
（2）任取x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
又f（x）在R上是奇函数，
∴-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．
点评：此题考查了诱导公式的作用，函数单调性的判断与证明，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．