【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)令
①当时,求函数
在点
处的切线方程;
②若时,
恒成立,求
的所有取值集合与
的关系;
(Ⅱ)记,是否存在
,使得对任意的实数
,函数
在
上有且仅有两个零点?若存在,求出满足条件的最小正整数
,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)①;②见解析;(2)2
【解析】
(1)①根据导数的几何意义,即可求解切线的方程;②由,即
,利用导数求得函数
的单调性和最值,即可求解.
(Ⅱ)令
,
,根据题意,由
和
,及存在
,使得
,分类讨论,即可求解.
(1)①由题意,可得,
则,所以
,
所以在
处的切线方程为
②由,即
则,
,
因为在
上单调递减,所以
,
存在,使得
,
函数在
上单调递增,在
上单调递减,
,
由得
,
,
∴,所以
的所有取值集合包含于集合
.
(Ⅱ)令
,
(1),
,
由于,
,
,
,
,
由零点存在性定理可知,,函数
在定义域内有且仅有一个零点.
(2),
,
,
,
,
同理可知,函数
在定义域内有且仅有一个零点.
(3)假设存在,使得
,
则,消
,得
.
令,
,所以
单调递增.
∵,
,∴
,
此时,
所以满足条件的最小正整数.
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【题目】“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目,选手面对1号8扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金,在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:
;
(单位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.
(Ⅰ)写出列联表;判断是否有
的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关;说明你的理由;(如表的临界值表供参考)
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
(Ⅱ)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手,并抽取3名幸运选手,求3名幸运选手中恰好有一人在岁之间的概率.
(参考公式: ,其中
)
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【题目】在平面直角坐标系中,定义为两点
,
的“切比雪夫距离”,又设点
及
上任意一点
,称
的最小值为点
到直线
的“切比雪夫距离”,记作
,给出下列三个命题:
①对任意三点、
、
,都有
;
②已知点和直线
:
,则
;
③到定点的距离和到
的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.
其中正确的命题有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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【题目】在平面直角坐标系中,四个点
,
,
,
中有3个点在椭圆
:
上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过原点的直线与椭圆交于
,
两点(
,
不是椭圆
的顶点),点
在椭圆
上,且
,直线
与
轴、
轴分别交于
、
两点,设直线
,
的斜率分别为
,
,证明:存在常数
使得
,并求出
的值.
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【题目】如图,四棱锥中,底面
为矩形,侧面
为正三角形,
,
,平面
平面
,
为棱
上一点(不与
、
重合),平面
交棱
于点
.
(1)求证:;
(2)若二面角的余弦值为
,求点
到平面
的距离.
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【题目】曲线.给出下列结论:
①曲线关于原点对称;
②曲线上任意一点到原点的距离不小于1;
③曲线只经过
个整点(即横纵坐标均为整数的点).
其中,所有正确结论的序号是( )
A.①②B.②C.②③D.③
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