Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，，，平面平面，为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点.

（1）求证：；

（2）若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先根据线面平行判定定理得平面，再根据线面平行性质定理得结果；

（2）取的中点，根据面面垂直性质定理得平面，再根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积解得平面的一个方向量，再利用向量夹角公式以及二面角与向量夹角关系列方程，解得E点坐标，最后根据向量求点面距，即得结果.

（1）底面为矩形，.

又平面，平面，平面.

又平面，平面平面，.

（2）取的中点，连接，过点作交于点.

侧面为正三角形，.

平面平面且交线为，

平面，为矩形，，，

如图所示，建立以，，所在直线为轴，轴，轴的空间直角坐标系

，，，，.

设，又，.

，.

设平面的法向量为

，

令，，，

平面的一个法向量.

又易知是平面的一个法向量，

，

解得：，，.

又平面的一个法向量，

点到平面的距离为：.