Question

甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为t（cm），相关行业质检部门规定：若t∈（2.9，3.1]，则该零件为优等品；若t∈（2.8，2.9]∪（3.1，3.2]，则该零件为中等品；其余零件为次品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件，经质量检测得到下表数据：

尺寸	[2.7，2.8]	（2.8，2.9]	（2.9，3.0]	（3.0，3.1]	（3.1，3.2]	（3.2，3.3]
甲机床零件频数	2	3	20	20	4	1
乙机床零件频数	3	5	17	13	8	4

（Ⅰ）设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本1元．试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的平均值；
（Ⅱ）对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由．
参考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．参考数据：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析：（I）求出随机抽取50件样本的总利润，然后将总利润除以50即可求出甲机床生产一件零件的利润的平均值；
（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的数值代入公式K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，同临界值进行比较，得到有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．

解答：解：（Ⅰ）设甲机床生产一件零件获得的利润为X元，
则有X=[40×3+7×1+3×（-1）]÷50=2.48 元
所以，甲机床生产一件零件的利润的平均值为2.48元．
（Ⅱ）由表中数据可知：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等品20个．
制作2×2列联表如下：

	甲机床	乙机床	合计
优等品	40	30	70
非优等品	10	20	30
合计	50	50	100

计算K²=

100(40×20-30×10)2

50×50×70×30

=

100

21

≈4.762．
考察参考数据并注意到3.841＜4.762＜5.024，可知：对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，根据样本估计总体的思想，约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．

点评：本题考查考查列联表，独立性检验的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．