Question

已知等差数列{a_n}满足：a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n、b_n；
（Ⅱ）设c_n=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a_n}、{b_n}的公差与公比．由a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2+d，4+2d是等比数列{b_n}的前三项，可得关于d的方程，解出d，可得a_n，进而可得b₁，b₂，公比q，故可得b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）表示出c_n，利用错位相减法可求得S_n．

解答：解（Ⅰ）设d、q分别为数列{a_n}、{b_n}的公差与公比．
由题意知，a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2+d，4+2d是等比数列{b_n}的前三项，
∴（2+d）²=2（4+2 d），解得：d=±2．
又∵a_n+1＞a_n，∴d＞0，∴d=2，
∴an=2n-1(n∈N*)，
由此可得b₁=2，b₂=4，q=2，
∴bn=2n(n∈N*)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c_n=

an

bn

=

2n-1

2n

，
∴Sn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

①，
∴

1

2

Sn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

②，
①-②，得

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
∴S_n=3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查等差数列等比数列的通项公式、数列的求和，考查学生的运算求解能力，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．