Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）
（1）若直线x﹣y﹣2=0过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程，并求出准线方程；
（2）设p=2，A，B是C上异于坐标原点O的两个动点，满足OA⊥OB，△ABO的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为（ ，0），

由于点（ ，0）在直线x﹣y﹣2=0上，得 ，即p=4，

所以抛物线C的方程为y2=8x，其准线方程为x=﹣2

（2）解：∵p=2，∴C：y2=4x．设AB：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2）．

将AB的方程代入C得：y2﹣4my﹣4n=0．

∵OA⊥OB，∴ =x1x2+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2=0．

将y1+y2=4m，y1y2=﹣4n代入上式得n=4

∴△AOB的面积S= =2 =8

∴m=0时，即A（4，4），B（4，﹣4）时，△AOB的面积最小，最小值为16

【解析】（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为（ ，0），由点（ ，0）在直线x﹣y﹣2=0上，能求出抛物线C的方程及其准线方程．（2）由p=2，知C：y2=4x．设AB：x=my+n，将AB的方程代入C得：y2﹣4my﹣4n=0． 由OA⊥OB，得 =x1x2+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2=0．将y1+y2=4m，y1y2=﹣4n代入上式得n=4．由此能求出m=0时，△AOB的面积最小，最小值为16．