【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)
(1)若直线x﹣y﹣2=0过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程,并求出准线方程;
(2)设p=2,A,B是C上异于坐标原点O的两个动点,满足OA⊥OB,△ABO的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为( ,0),
由于点( ,0)在直线x﹣y﹣2=0上,得
,即p=4,
所以抛物线C的方程为y2=8x,其准线方程为x=﹣2
(2)解:∵p=2,∴C:y2=4x.设AB:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),(x1<x2).
将AB的方程代入C得:y2﹣4my﹣4n=0.
∵OA⊥OB,∴ =x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=0.
将y1+y2=4m,y1y2=﹣4n代入上式得n=4
∴△AOB的面积S= =2
=8
∴m=0时,即A(4,4),B(4,﹣4)时,△AOB的面积最小,最小值为16
【解析】(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为( ,0),由点(
,0)在直线x﹣y﹣2=0上,能求出抛物线C的方程及其准线方程.(2)由p=2,知C:y2=4x.设AB:x=my+n,将AB的方程代入C得:y2﹣4my﹣4n=0. 由OA⊥OB,得
=x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=0.将y1+y2=4m,y1y2=﹣4n代入上式得n=4.由此能求出m=0时,△AOB的面积最小,最小值为16.
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【题目】已知椭圆C1: +x2=1(a>1)与抛物线C
:x2=4y有相同焦点F1 .
(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程;
(Ⅱ)已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2 , 且与抛物线C2相切于第一象限的点A,设平行l1的直线l交椭圆C1于B,C两点,当△OBC面积最大时,求直线l的方程.
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【题目】设x∈R,记不超过x的最大整数为[x],例如[2.34]=2,[﹣1.5]=﹣2,令{x}=x﹣[x],则 ( )
A.是等差数列但不是等比数列
B.既是等差数列也是等比数列
C.是等比数列但不是等差数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
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【题目】从某工厂生产的P,Q两种型号的玻璃种分别随机抽取8个样品进行检查,对其硬度系数进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),则P组数据的众数和Q组数据的中位数分别为( )
A.22和22.5
B.21.5和23
C.22和22
D.21.5和22.5
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【题目】将函数f(x)= cos(2x+
)﹣1的图象向左平移
个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)具有性质 . (填入所有正确性质的序号)
①最大值为 ,图象关于直线x=﹣
对称;
②图象关于y轴对称;
③最小正周期为π;
④图象关于点( ,0)对称;
⑤在(0, )上单调递减.
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