Question

【题目】解答题
（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；
（2）设a2﹣2ab+5b2=4对a，b∈R成立，求a+b的最大值及相应的a，b．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，对x分3种情况讨论：

①当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，

解得x＞0，又x＜0，则x不存在，

此时，不等式的解集为．

②当0≤x＜ 时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，

解得x＞0，又0≤x＜ ，

此时其解集为{x|0＜x＜ }．

③当x≥ 时，原不等式可化为2x﹣1＜x+1，解得x＜2，

又由x≥ ，

此时其解集为{x| ≤x＜2}，

∪{x|0＜x＜ }∪{x| ≤x＜2}={x|0＜x＜2}；

综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}

设a2﹣2ab+5b2=4对a，b∈R成立，求a+b的最大值及相应的a，b．

（2）解：设a+b=x，则原方程化为8a2-12ax+5x2-4=0,此方程有实根，则△=144x2﹣4×8（5x2﹣4）≥0，解得 ，所以a+b的最大值为2 ，此时a= ，b=

【解析】（1）对x分情况讨论，去绝对值；然后分别解之；（2）设a+b=x，则原方程化为关于a的一元二次方程的形式，利用判别式法，得到x的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本不等式在最值问题中的应用的相关知识，掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”，以及对绝对值不等式的解法的理解，了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．