Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），且同时满足下列条件：
①f（x）是奇函数；
②f（x）在定义域上单调递减；
③f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0．
求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：由f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0得f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2），

∵函数y=f（x）是奇函数，

∴﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），

即不等式等价为f（1﹣a）＜f（a2﹣1），

∵y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，

∴有 ，即 ，

∴ ，解得0＜a＜1．

故答案为：0＜a＜1．

【解析】利用函数是奇函数，将不等式f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0转化为f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），然后利用函数的单调性进行求解．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数的奇偶性，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能得出正确答案．