Question

【题目】已知数列{an}的首项a1=1，且an+1=2an+1（n∈N*）
（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下对任意正整数n，不等式Sn+ ﹣1＞（﹣1）na恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】证明：（I）∵an+1=2an+1（n∈N*），∴an+1+1=2（an+1），

∴数列{an+1}是等比数列，首项为2，公比为2．

∴an+1=2n，解得an=2n﹣1．

解：（Ⅱ）bn= = ，

数列{bn}的前n项和Sn= +…+ ，

∴ = +…+ + ，

相减可得： = +…+ ﹣﹣ = ﹣ ，

可得：Sn=2﹣ ．

（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下对任意正整数n，不等式Sn+ ﹣1＞（﹣1）na，

化为：（﹣1）na＜1﹣ ．

n为奇数时，a＞﹣ ，可得a＞﹣ ．

n为偶数时，a＜1﹣ ．可得a ．

∵对任意正整数n，不等式Sn+ ﹣1＞（﹣1）na恒成立，

∴ ．

∴实数a的取值范围是 ．

【解析】（）（1）由an+1=2an+1（n∈N*），∴an+1+1=2（an+1），即可得出数列{an+1}是等比数列，根据等比数列的通项公式，从而得到an的通项公式，（2）由（1）中an的通项公式表示出bn，通过错位相减可求得数列{bn}的前n项和Sn，（3）在（2）的条件下，不等式Sn+ ﹣1＞（-1）na，可化为：（﹣1）na＜1﹣ ,对a进行分类讨论，可得到实数a的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．