Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点P（1， ）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过坐标原点O的两条直线EF，MN分别与椭圆C交于E，F，M，N四点，且直线OE，OM的斜率之积为﹣ ，求证：四边形EMFN的面积为定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵为点 在椭圆C上，椭圆C的右焦点为F2（1，0）， 则 ，解得 ，
∴椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）当直线EM斜率存在时，设直线方程为l：y=kx+m，E（x1 ， y1），M（x2 ， y2），
联立 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0， ，
= ，
由 得 ，即2m2=2k2+1，
原点到直线EM的距离为 ，
∴
= =
=
= ，
∴ ．
当直线EM斜率不存在时， ，x1=x2 ， y1=﹣y2 ， ∴ ，
又 ，解得 ，
【解析】（Ⅰ）由题意可得： ，解出即可得出．（Ⅱ）当直线EM斜率存在时，设直线方程为l：y=kx+m，E（x1 ， y1），M（x2 ， y2），与椭圆方程联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，利用斜率计算公式、根与系数的关系及其 ，可得2m2=2k2+1，原点到直线EM的距离为 ，利用 ，代入化简即可得出定值，斜率不存在时也成立．