Question

已知函数fn(x)=x2+x+

1

2

的定义域是[n，n+1]（n是自然数），那么f₁（x）的值域中共有

4

个整数；f_n（x）的值域中共有

2n+2

个整数．

Answer 1

分析：由题意f₁（x）的定义域是[1，2]，利用二次函数的性质可得f₁（x）在[1，2]上为增函数，求出f（1）和f（2）的值，可得f₁（x）的值域中共4个整数；算出f_n（n）=n2+n+

1

2

且f（n+1）=n2+3n+

5

2

，根据f_n（x）在[n，n+1]上是增函数并利用等差数列的性质，可得f_n（x）的值域中整数的个数．

解答：解：∵函数fn(x)=x2+x+

1

2

的定义域是[n，n+1]，
∴f₁（x）的定义域是[1，2]，
∵y=x2+x+

1

2

的图象是开口向上的抛物线，关于直线x=-

1

2

对称，
∴f₁（x）在区间[1，2]上为增函数，得函数f₁（x）的值域为[f（1），f（2）]
又∵f（1）=

5

2

，f（2）=

13

2

，．
∴f₁（x）的值域为[

5

2

，

13

2

]，其中含有3、4、5、6，共4个整数；
∵fn(x)=x2+x+

1

2

的定义域是[n，n+1]，且函数f_n（x）在[n，n+1]上是增函数，
∴函数f_n（x）的值域为[f（n），f（n+1）]，
∵f_n（n）=n2+n+

1

2

，f（n+1）=(n+1)2+(n+1)+

1

2

=n2+3n+

5

2

，
∴函数f_n（x）的值域为[n2+n+

1

2

，n2+3n+

5

2

]，
其中的整数n²+n+1、n²+n+2、…、n²+3n+2，
一共（n²+3n+2）-（n²+n+1）+1=2n+2个整数．
故答案为：4，2n+2

点评：本题给出二次函数的定义域，求它的值域中整数的个数．着重考查了二次函数的图象与性质、函数值域的求法和等差数列的性质等知识，属于中档题．