Question

已知函数f_n(x)＝(1＋x)ⁿ－1，（n∈N*，且n＞1）．

(Ⅰ) 设函数，求的最大值和最小值

(Ⅱ) 若求证：f_n(x)≥nx.

Answer 1

解析：(1)h(x)＝f₃(x)－f₂(x)＝x(1＋x)²，

∴h ' (x)＝(1＋x)²＋2x(1＋x)＝(1＋x)(1＋3x)，

令h ' (x)＝0，得x＝－1或x＝－，………………8分

x	-2	(－2, －1)	－1	(－1, －)	－	(－, 0)	0
h ' (x)		＋	0	－	0	＋
h(x)	-2		0		－		0

h(x)在(－2, －1)，(－, 0)上单调递增，在(－1, －)上单调递减，过点(0, 0)．

时，……7分

(Ⅱ)令g(x)＝f_n(x)－nx＝(1＋x)ⁿ－1－nx．

则g '(x)＝n(x＋1)^n－1－n＝n[(x＋1)^n－1－1]，

∴当－2＜x＜0时，g '(x)＜0；当x＞0时g '(x)＞0．

∴g(x)在(－2, 0)上单调递减，在(0, ＋∞) 上单调递增．

∴当x＝0时，g(x)_min＝g(0)＝0，即g(0)≥g(x) _min＝0，∴f_n(x)≥nx．…13分