Question

已知函数f_n(x)＝(1＋x)ⁿ－1，(n∈N*，且n＞1)．

(Ⅰ)设函数h(x)＝f₃(x)－F₂(x)，x∈[－2，0]，求h(x)的最大值和最小值

(Ⅱ)若x＞－2求证：f_n(x)≥nx．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)h(x)＝f3(x)－f2(x)＝x(1＋x)2， 　　∴(x)＝(1＋x)2＋2x(1＋x)＝(1＋x)(1＋3x)， 　　令(x)＝0，得x＝－1或x＝－，8分 　　∴h(x)在(－2，－1)，(－，0)上单调递增，在(－1，－)上单调递减，过点(0，0)． 　　时，　7分 　　(Ⅱ)令g(x)＝fn(x)－nx＝(1＋x)n－1－nx． 　　则(x)＝n(x＋1)n－1－n＝n[(x＋1)n－1－1]， 　　∴当－2＜x＜0时，(x)＜0；当x＞0时(x)＞0． 　　∴g(x)在(－2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 　　∴当x＝0时，g(x)min＝g(0)＝0，即g(0)≥g(x)min＝0，∴fn(x)≥nx．13分