Question

（2011•合肥三模）已知函数fn(x)=

1

3

x3-

1

2

(n+1)x2+x(n∈N*)，数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据猜想数列{a_n}的通项公式，并证明；
（3）求证：

1

(2a1-5)2

+

1

(2a2-5)2

+…+

1

(2an-5)2

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）由已知，对f_n（x）求导，由a_n+1=f'_n（a_n）应得出a_n+1=a_n²-（n+1）a_n+1，利用此递推式求a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）求得的结果，应猜想a_n=n+2，可用数学归纳法证明．
（3）当k≥2时，

1

(2ak-5)2

=

1

(2k-1)2

＜

1

(2k-1)(2k-3)

=

1

2

（

1

2k-3

- 

1

2k-1

），
对不等式右边的项放缩后，化简整理，寻求出与

3

2

的大小关系，来证明不等式．

解答：解：（1）f'_n（x）=x²-（n+1）x+1，（n∈N^*）
∴a_n+1=a_n²-（n+1）a_n+1
∵a₁=3．
∴a₂=a₁²-2a₁+1=4
a₃=a₂²-3a₁+1=5
a₄=a₃²-4a₃+1=6
（2）猜想a_n=n+2
当n=1时，显然成立
假设当n=k（k≥1）时成立，即有a_k=k+2
则当n=k+1时，a_k+1=a_k²-（k+1）a_k+1=（k+2）²-（k+1）（k+2）+1
=k+3=（k+1）+2
即当n=k+1时，猜想也成立．
所以对一切n∈N^*，a_n=n+2均成立．
（3）证明：当k≥2时，

1

(2ak-5)2

=

1

(2k-1)2

＜

1

(2k-1)(2k-3)

=

1

2

（

1

2k-3

- 

1

2k-1

）
所以n≥2时，有

1

(2a2-5)2

+

1

(2a3-5)2

+…+

1

(2an-5)2

＜

1

2

[（1-

1

3

）+(

1

3

-

1

5

)+…（

1

2n-3

-

1

2n-1

）]
=

1

2

（1-

1

2n-1

）＜

1

2

又

1

(2a1-5)2

=1，
所以

1

(2a1-5)2

+

1

(2a2-5)2

+…+

1

(2an-5)2

＜1+

1

2

=

3

2

，
原不等式成立．

点评：本题是函数、数列、不等式的综合．考查了计算、归纳猜想、证明的数学思想方法，放缩法证明不等式（结合了裂项法数列求和）．