Question

（2011•合肥三模）已知抛物线C的方程为x²=2py（p＞0），过抛物线上点M（-2

p

，p）作△MAB，A、B两均在抛物线上．过M作x轴的平行线，交抛物线于点N．
（I）若MN平分∠AMB，求证：直线AB的斜率为定值；
（II）若直线AB的斜率为

p

，且点N到直线MA，MB的距离的和为4p，试判断△MAB的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由M(-2

p

，p)在x²=2py（p＞0）上可求P，可设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为-k，则直线MA的方程为y=kx+2

2

k+2，联立

y=kx+2 2 k+2 x2=4y

可得x2-4kx-8

2

k-8=0，则xA=4k-xM=4k+2

2

同理可得，xB=2

2

-4k由KAB=

yA-yB

xA-xB

可求
（2）同（1）可知xA=4KMA+2

2

，xB=4KMB+2

2

，KAB=

yA-yB

xA-xB

=

1

4

(xA+xB)=KMA+KMB+

2

，由条件KAB=

2

知K_MA=-K_MB结合已知可得，K_MA•k_MB=-1，从而可判断

解答：解：（1）∵M(-2

p

，p)在x²=2py（p＞0）上
∴4p=2p²，可得p=2
可设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为-k
则直线MA的方程为y=kx+2

2

k+2
联立

y=kx+2 2 k+2 x2=4y

可得x2-4kx-8

2

k-8=0
则x_M+x_A=4k即xA=4k-xM=4k+2

2

同理可得，xB=2

2

-4k
∴KAB=

yA-yB

xA-xB

=

1 4 ( x 2 A - x 2 B )

xA-xB

=

1

4

(xA+xB)=

2

（2）同（1）可知xA=4KMA+2

2

，xB=4KMB+2

2

则KAB=

yA-yB

xA-xB

=

1

4

(xA+xB)=KMA+KMB+

2

，
由条件KAB=

2

知K_MA=-K_MB即直线MA、MB关于MN对称
则点N(2

2

，2)到直线MA或MB的距离d=

4p

2

=4
由点到直线的距离公式可得k_MA²=k_MB²=1
∴K_MA•k_MB=-1∴∠AMB=

π

2

∴△MAB为Rt△

点评：本题考查抛物线性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，方程的根与系数的关系的应用，直线的斜率公式的应用，综合的知识较多，计算量较大，这也是圆锥曲线的常考的试题．