Question

（2011•合肥三模）已知

a

=（sinx+cosx，sinx-cosx），

b

=（sinx，cosx）
（1）若

a

∥

b

，求x的值；
（2）当x∈(-

π

6

，

π

4

)时，求函数f（x）=

a

•

b

的值域．

Answer 1

分析：（1）由题设条件

a

∥

b

，可以得到cosx（sinx+cosx）=sinx（sinx-cosx），整理得sin2x+cos2x=0，求得tan2x=-1，再求出x的值；
（2）求出函数f（x）=

a

•

b

的解析式，再由三角函数的性质求函数在x∈(-

π

6

，

π

4

)时的值域．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，

a

=（sinx+cosx，sinx-cosx），

b

=（sinx，cosx）
∴cosx（sinx+cosx）=sinx（sinx-cosx），
整理得sin2x+cos2x=0，
∴tan2x=-1，，
∴2x=kπ-

π

4

，k∈z，即x=

1

2

kπ-

π

8

，k∈z，
（2）f（x）=

a

•

b

=sinx（sinx+cosx）+cosx（sinx-cosx）=2sinxcosx+sin²x-cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）
∵x∈(-

π

6

，

π

4

)，∴2x-

π

4

∈（-

7π

12

，

π

4

）
∴-1≤sin（2x-

π

4

）＜

2

2

，得-

2

≤f（x）＜1
，即函数f（x）=

a

•

b

的值域是[-

2

，1）

点评：本题考查三角恒等变换及化简求值，解题的关键熟练掌握向量的数量积公式、正、余弦函数的二倍角公式，且能用这些公式对三角解析式进行化简，本题中涉及到求三角函数的值域，一般是借助三角函数的单调性，本题是三角函数中的综合题，考查全面，技巧性强，解题过程中注意体会知识的运用技巧．