Question

18．设函数f（x）=$\frac{lnx+1}{x}$．
（1）求曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（2）当x≥1时，不等式f（x）-$\frac{1}{x}$≥$\frac{a（{x}^{2}-1）}{x}$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{1-lnx-1}{{x}^{2}}=\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，可得f′（e）=$-\frac{1}{{e}^{2}}$，又f（e）=$\frac{2}{e}$，利用点斜式即可得出．
（2）不等式f（x）-$\frac{1}{x}$≥$\frac{a（{x}^{2}-1）}{x}$恒成立，x≥1，即lnx-a（x²-1）≥0，令g（x）=lnx-a（x²-1），g（1）=0．g′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax．对a分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1-lnx-1}{{x}^{2}}=\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
∴f′（e）=$-\frac{1}{{e}^{2}}$，又f（e）=$\frac{2}{e}$，
∴曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为$y-\frac{2}{e}=-\frac{1}{{e}^{2}}（x-e）$，
即$y=-\frac{1}{{e}^{2}}x+\frac{3}{e}$；
（2）不等式f（x）-$\frac{1}{x}$≥$\frac{a（{x}^{2}-1）}{x}$恒成立，x≥1，即lnx-a（x²-1）≥0，
令g（x）=lnx-a（x²-1），g（1）=0．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax．
①a≤0时，g′（x）≥0，此时函数g（x）单调递增，∴g（x）≥g（1）=0．满足条件，∴a≥0．
②a＞0时，g′（x）═$\frac{-2a（x+\sqrt{\frac{1}{2a}}）（x-\sqrt{\frac{1}{2a}}）}{x}$．
可得x＞$\sqrt{\frac{1}{2a}}$时，函数g（x）单调递减，x→+∞时，g（x）→-∞．不符合g（x）≥0，舍去．
综上可得：a的取值范围是（-∞，a]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．