Question

3．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，有AC²+BC²=AB²；类比猜想：直角四面体P-ABC（即PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA）的四个面的面积关系，证明你的猜想．

Answer 1

分析 斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．即可．

解答 解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得
S²_△ABC=S²_△PAB+S²_△PBC+S²_△PCA．
证明如下：如图作PO垂直底面△ABC于O点，
连接AO并延长交BC于D，连接PD，
易证AD⊥BC，PD⊥BC，在Rt△PAD中，
由射影定理得PD²=OD•AD，
S²_△PBC=（$\frac{1}{2}$BC•PD）²=$\frac{1}{4}$BC²•PD²=$\frac{1}{4}$BC²•OD•AD=（$\frac{1}{2}$BC•OD）（$\frac{1}{2}$BC•AD）=S_△ABC•S_△OBC，
同理可证：S²_△PBA=S_△ABC•S_△OBA，S²_△PCA=S_△ABC•S_△OCA
所以：S²_△PBA+S²_△PCA+S²_△PBC=S_△ABC（•S_△OBC+S_△OAB+S_△OAC）=S²_△ABC

点评 本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．利用类比推理可以得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论．