Question

15．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，0≤a＜π），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=6sinθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若点P（1，2），设曲线C与直线l交于点A，B，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程根据x=ρcosθ，y=ρsinθ化为直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程消去参数化为普通方程可得直线l经过定点P（1，2），可得|PA|+|PB|=|AB|，根据二次函数的性质求出$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值即可．

解答 解：（1）由ρ=6sinθ得ρ²=6ρsinθ，
化为直角坐标方程为x²+y²=6y，
即x²+（y-3）²=9；
（2）将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程，
得t²+2（cosα-sinα）t-7=0，
因为△=4（cosα-sinα）²+4×7＞0，
故可设t₁，t₂是方程的两根，
所以$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=-2（{cosα-sinα}）\\{t_1}{t_2}=-7\end{array}\right.$．
又直线l过点P（1，2），结合t的几何意义得：
|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|
=$\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{32-4sin2α}≥\sqrt{32-4}=2\sqrt{7}$，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{PA}|+|{PB}|}}{{|{PA}|•|{PB}|}}=\frac{{\sqrt{32-4sin2α}}}{{|{-7}|}}≥\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
所以原式的最小值为$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，直线和圆的位置关系．