Question

4．在直角坐标系xOy中，已知点P（1，-2），直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+m}\\{y=-2+m}\end{array}\right.$（m 为参数），以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=3cosθ；直线l与曲线C的交点为A，B．
（1）求直线l和曲线C的普通方程；
（2）求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，把直线的参数式转化为普通式，进一步把曲线的极坐标式转化为普通式．
（2）首先把直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+m}\\{y=-2+m}\end{array}\right.$（m 为参数）转化为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.（t为参数）$，进一步代入曲线方程得到：${t}^{2}-6\sqrt{2}t+4=0$，进一步利用根和系数的关系求出相应的结果．

解答 解：（1）在平面直角坐标系xOy中直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+m}\\{y=-2+m}\end{array}\right.$（m 为参数）的参数方程转化为普通方程为：x-y-3=0．
曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=3cosθ转化为普通方程为；y²=2x．
（2）把直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+m}\\{y=-2+m}\end{array}\right.$（m 为参数）转化为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.（t为参数）$，代入曲线方程；y²=2x．
得到：${t}^{2}-6\sqrt{2}t+4=0$
求得：t₁+t₂=6$\sqrt{2}$，t₁•t₂=4
所以：$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{|PA|+|PB|}{|PA|•|PB|}$=$\frac{6\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的知识点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，直线方程与曲线方程的位置关系，一元二次方程根和系数的关系的应用属于基础题型．