Question

9．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土．为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一艘某国海上保安厅舰船C．
（1）求cos∠ACB的值；（保留2个有效数字，$\sqrt{2}$=1.14，$\sqrt{3}$=1.732）
（2）海监船B奉命以每小时45海里的速度前往C处对某国舰船进行驱逐，那么海监船B到达C处最少需要多少时间？（假定舰船C在原处不动，结果保留一位小数）

Answer 1

分析 （1）过B作BD⊥AC 于D，求出∠ACB，然后求解余弦函数值即可．
（2）在Rt△ABD中求出BD，在Rt△BCD中，求出BC，然后求解海监船B需要的时间．

解答 解：（1）过B作BD⊥AC 于D，
由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°，
所以cos∠ACB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}≈$0.87；
（2）在Rt△ABD中BD=AB•sin∠BAD=40×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=20$\sqrt{2}$（海里），
在Rt△BCD中，BC=$\frac{BD}{sin∠BCD}$=$\frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$=40$\sqrt{2}$（海里）∴海监船B需要$\frac{40\sqrt{2}}{45}$=1.3小时，
答：海监船B赶往C处最少需要1.3小时．

点评 本题考查三角形的解法，解三角形的实际应用，考查分析问题解决问题的能力．