Question

18．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x，将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象；若对任意实数x，都有g（a-x）=g（a+x）成立，则g（2a+$\frac{π}{2}$）+g（$\frac{π}{4}$）=（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的恒等变换求得g（x）的解析式，再根据题意可得g（x）的图象关于直线x=α对称，再根据正弦函数的图象的对称性求得α的值，可得g（2a+$\frac{π}{2}$）+g（$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：将f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$的图象，
右移$\frac{π}{12}$个单位，再向上平移2个单位，得到：y=g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]-$\frac{1}{2}+2$=sin2x+$\frac{3}{2}$的图象，
令2x=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，即x=$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
又因为：g（a-x）=g（a+x），
所以a=$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
则：g（2a+$\frac{π}{2}$）+g（$\frac{π}{4}$）=sin（2π+2kπ）+$\frac{3}{2}$+sin$\frac{π}{2}$+$\frac{3}{2}$=0+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{2}$=4．
故选：A．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．