Question

8．在直角坐标系xOy中，圆C₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=4，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），并以O为极点，x轴正半轴建立极坐标系．
（1）写出圆C₁的圆心C₁的直角坐标，并将C₂化为极坐标方程；
（2）若直线C₃的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），C₂与C₃相交于A，B两点，求△ABC₁的面积（C₁为圆C₁的圆心．

Answer 1

分析 （1）圆C₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=4，可得圆心C₁$（-\sqrt{3}，0）$．曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系消去参数θ可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．
（2）直线C₃的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），可得直角坐标方程：y=$\sqrt{3}$x．原点O是C₂与C₃的一个交点，不妨设为A点，则|AB|，|AC₁|，∠BAC₁=120^°，可得△ABC₁的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC₁|sin120°．

解答 解：（1）圆C₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=4，可得圆心C₁$（-\sqrt{3}，0）$．
曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系消去参数θ可得普通方程：（x-2）²+y²=4，
展开可得：x²+y²-4x=0，可得极坐标方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）直线C₃的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），可得直角坐标方程：y=$\sqrt{3}$x．原点O是C₂与C₃的一个交点，不妨设为A点，则|AB|=2×2cos60°=2，|AC₁|=$\sqrt{3}$，∠BAC₁=120^°，
∴△ABC₁的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC₁|sin120°=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．