Question

19．在探究系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行：设实系数一元二次方程a₂x²+a₁x+a₀=0…①
在复数集C内的根为x₁，x₂，则方程①可变形为a₂（x-x₁）（x-x₂）=0，展开得a₁x²-a₂（x₁+x₂）x+a₂x₁x₂=0，…②比较①②可以得到：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}_{0}}{{a}_{2}}}\end{array}\right.$类比上述方法，设实系数一元n次方程a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=0（n≥2且n∈N^*）在复数集C内的根为x₁，x₂，…，x_n，则这n个根的积$\underset{\stackrel{n}{Π}}{i=1}$x_i=${（-1）}^{n}\frac{{a}_{0}}{{a}_{n}}$．

Answer 1

分析 利用题意结合所给的方法待定系数法可求得一元三次方程中三个根乘积的关系，然后求解一元四次方程四个根乘积的关系，据此进行归纳推理即可求得最终结果．

解答 解：考查一元三次方程：${a}_{3}{x}^{3}+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{1}x+{a}_{0}=0$        ①，
在复数集C内的根为x₁，x₂，x₃，则方程①可变形为a₃（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）=0，
展开得 ${a}_{3}{x}^{3}-{a}_{3}（{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}）{x}^{2}+{a}_{3}（{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{3}+{x}_{2}{x}_{3}+）{x}^{2}-{a}_{3}{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}=0$   ②，
结合①②可得：${x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}=-\frac{{a}_{0}}{{a}_{3}}$，
同理考查一元四次方程可得：${x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}{x}_{4}=\frac{{a}_{0}}{{a}_{4}}$，
据此归纳可得：$\prod_{i=1}^{n}{x}_{i}={（-1）}^{n}\frac{{a}_{0}}{{a}_{n}}$．
故答案为：${（-1）}^{n}\frac{{a}_{0}}{{a}_{n}}$．

点评 本题考查了归纳推理，根与系数的关系，待定系数法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．