Question

3．解关于x的不等式 $x-\frac{1}{x}$≥a（x-1）．（a∈R）

Answer 1

分析 通过讨论a的范围求出不等式的解集即可．

解答 解：原不等式可转化为$\frac{（x-1）[（1-a）x+1]}{x}$≥0（*）（2分）
（1）当a=1时，（*）式为$\frac{x-1}{x}$≥0，解得x＜0或x≥1；（4分）
（2）当a≠1时，（*）可式为$\frac{{（1-a）（x-1）（x+\frac{1}{1-a}）}}{x}$≥0
①若a＜1，则a-1＜0，$\frac{1}{a-1}$＜0，解得$\frac{1}{a-1}$≤x＜0，或x≥1； （6分）
②若1＜a≤2，则1-a＜0，$\frac{1}{a-1}$≥1，解得x＜0，或1≤x≤$\frac{1}{a-1}$； （8分）
③若a＞2，则a-1＞1，0＜$\frac{1}{a-1}$＜1，1-a＜0，解得x＜0，或$\frac{1}{a-1}$≤x≤1；（10分）
综上，当a=1时，不等式解集为{x|x＜0或x≥1}，
当a＜1时，不等式解集为{x|$\frac{1}{a-1}$≤x＜0，或x≥1}
当1＜a≤2时，不等式解集为{x|x＜0，或1≤x≤$\frac{1}{a-1}$}，
当a＞2时，不等式解集为{x|x＜0，或$\frac{1}{a-1}$≤x≤1}．（12分）．

点评 本题考查了方式不等式的解法，考查分类讨论思想，是一道中档题．