Question

19．已知不等式a≤$\frac{3}{4}$x²-3x+4≤b的解集为[a，b]，则a+b的值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 设f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+4，讨论f（x）的对称轴x=2是否在区间[a，b]内，从而求出a、b的值．

解答 解：设f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+4，则f（x）的对称轴为x=2，
若a≥2，则a，b是方程f（x）=x的两个实根，解得a=$\frac{4}{3}$，b=4，与a≥2矛盾，舍去；
若b≤2，则f（a）=b，f（b）=a，相减得a+b=$\frac{8}{3}$，代入可得a=b=$\frac{8}{3}$，与已知矛盾，舍去；
若a＜2＜b，则f（x）的顶点在[a，b]内，f（x）_min=1，所以a≤1（否则在顶点处不满足a≤f（x）），
所以此时a≤f（x）的解集是R；
所以f（x）≤b的解集是[a，b]，
所以f（a）=f（b）=b；
由$\left\{\begin{array}{l}{f（b）=b}\\{b＞2}\end{array}\right.$，解得b=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=4}\\{a＜2}\end{array}\right.$，解得a=0，
所以a+b=4．
故选：C．

点评 本题考查了一元二次不等式的应用问题，也考查了分析问题转化问题的能力，是难题．