Question

6．如图，在正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h
（1）求cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{DE}$＞
（2）当∠BED是二面角B-VC-D的平面角时，求∠BED的正弦值．

Answer 1

分析 由题意建立空间直角坐标系．
（1）由已知求出B、C、V、E的坐标，可得$\overrightarrow{BE}、\overrightarrow{DE}$的坐标，然后利用数量积求夹角公式可得cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{DE}$＞；
（2）由∠BED是二面角B-VC-D的平面角，得DE⊥CV，由$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CV}=0$，得h²=2a²，可得cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{DE}$＞，再由平方关系求得∠BED的正弦值．

解答 解：以正四棱锥V-ABCD的底面中心O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，
（1）由已知可得B（a，a，0），C（-a，a，0），V（0，0，h），E（$-\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，$\frac{h}{2}$），
∴$\overrightarrow{BE}$=（$-\frac{3}{2}a，-\frac{a}{2}，\frac{h}{2}$），$\overrightarrow{DE}=（\frac{a}{2}，\frac{3a}{2}，\frac{h}{2}）$，
故cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{{h}^{2}-6{a}^{2}}{{h}^{2}+10{a}^{2}}$；
（2）当∠BED是二面角B-VC-D的平面角时，
有DE⊥CV，由$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CV}=0$，得$\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{3{a}^{2}}{2}+\frac{{h}^{2}}{2}=0$，
即h²=2a²，于是由（1）得cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{{h}^{2}-6{a}^{2}}{{h}^{2}+10{a}^{2}}$=$\frac{-4{a}^{2}}{12{a}^{2}}=-\frac{1}{3}$，
∴sin$∠BED=\sqrt{1-（-\frac{1}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．